- no title specified

Newton-en 2. legea: Dinamikaren oinarrizko legea

N2: Partikula baten gainean aplikatzen diren indarren erresultantea partikularen momentu linealaren aldakuntzaren (denborarekiko) berdina da.

Σ \vec{F} = \frac{d \vec{p}}{dt} = m \frac{d \vec{v}}{dt} = m \vec{a}

N2 ES inertzialetan

\vec{v} = \vec{v}' + \vec{V}

\frac{d \vec{v}}{dt} = \frac{d \vec{v}'}{dt} + \frac{d \vec{V}}{dt} \Rightarrow \vec{a} = \vec{a}' \Rightarrow \vec{F} = \vec{F}'

ESI-ko behatzaileek indar berdinak neurtzen dituzte

[F] = [m] [a] = M L T^{- 2}

Newton-en 3. legea: Akzio-erreakzioaren legea

Indarra = gorputzen arteko elkarrekintzaren neurria

N3: Bi partikula elkarrekin interakzionatzean, 1.ak 2.aren gainean sortzen duen indarra, 2.ak 1.aren gainean eragiten duen indarraren berdina da baina aurkako noranzkoa du.

\vec{F_{12}} = - \vec{F_{21}}

● Gorputz desberdinetan aplikatzen dira!
● Indarrak bikoteka gertatzen dira
● Kontuz: partikula bien azelerazioak ez dira berdinak (N2).

Elkarrekintza motak

Newton-en legearen aplikazioak

1.-Pisua: grabitatearen ondorioz

\vec{P} = m \vec{g}

4.- Marruskadura indarra: Ukipen indarraren osagai horizontala

\vec{F_{gizona}}

4a) Marruskadura indar estatikoa:

- - ●Bi gorputz elkarrekiko geldi daudenean
  - ●Aldakorra da: - Orekan
    - - - Oreka apurtzeko momentuan

0 < F_{m_{e}} \leq F_{e_{\max}}

5.- Bultzada

Arkimedes-en printzipioa: Fluido batean murgildurik dagoen edozein gorputzak goranzko indar bat sentitzen du, ateratako fluidoaren pisuaren berdina dena.

m_{fluido} = ρ_{fluido} V_{gorputza}

E = ρ_{fluido} V_{gorputza} g

5.- Bultzada

ARIKETAK EBAZTEKO ESTRATEGIA

Planteamendua:

●Identifikatu partikularen gainean eragiten duten indar guztiak
●Aurkitu partikularen azelerazio bektorearen norabidea

Ebazpena:

●Irudikatu diagrama bat ariketaren ezaugarri nagusiekin
●Interesatzen zaigun gorputza islatu eta identifikatu bere gainean eragiten duten indar guztiak
●Irudikatu indar-diagrama
●Koordenatu-sistema egokia hautatu. Azelerazioaren norabidea ezagutzen bada, hautatu ardatz bat norabide horretan
●Newton-en 2. legea aplikatu ardatz bakoitzean
●Ekuazioak ebatzi ezezagunak aurkitzeko.

Egiaztapena:

●Egiaztatu emaitzek unitate zuzenak dituztela eta zentzuzkoak direla

Adib: 5 kg-ko masa duen gorputza 37º-ko plano aldapatsuan pausagunean dago igerileku baten barruan. Zein izango da marruskadura-koefiziente estatikoaren balio minimoa gorputza irristatu ez dadin. Datua: igerilekuko ura purua da eta gorputzaren dentsitatea 2000 kg/m3 da.

Adibidea: INDARRAK ETA HIGIDURA ZIRKULARRA

Higidura zirkularrean beti dago an abiaduraren norabidea aldatzen delako. N2-ren ondorioz indar erresultanteak osagai bat izango du zirkuluaren zentrorantz.

Ariketak: 1, 6, 9

Adibidea: Polea mugikorrak eta finkoak

Hurbilketa:

Txirrikek ez daukate masarik.

Sokak ezin dira luzatu eta masa gabekoak dira: tentsioa soka osoan berdina da

Soka bikoitzari lotu zaion gorputzak (m1) azelerazio bikoitza dauka. Polea mugikorrari lotutako gorputzak (m2) distantzia erdia egiten du

\vec{F} \neq kte

Kalkulu analitikoa. Demagun

F_{m} = kv

Σ F_{y} = m a_{y}

mg - kv = m \frac{dv}{dt}

MOMENTU ANGELUARRA

t aldiunean r posizioan p momentu linealaz higitzen den partikula, jatorriarekiko duen momentu angeluarra

\vec{L_{0}} = \vec{r} \land \vec{p}

HIGIDURA LAUAN

\vec{L} = \vec{r} \land m (\vec{v_{r}} + \vec{v_{θ}}) = \vec{r} \land m \vec{v_{θ}} = m r v_{θ} \hat{k}

Eta

v_{θ} = r \frac{d θ}{dt}

∣ L ∣ = {mr}^{2} \frac{d θ}{dt}

HIGIDURA ZIRKULARREAN

Noiz?

\hat{u_{r}}, \hat{u_{θ}}

\hat{i}, \hat{j}

\hat{u_{t}}, \hat{u_{n}} / \hat{t}, \hat{n}

Higidura laua = 2D ⇒ 2 bektore perpendikularrek oinarria sortzen dute.

Bakoitzak aukeratzen du kasuz-kasu egokiena dena.

\vec{F} = F_{x} \hat{i} + F_{y} \hat{j}

bezala ezagutzen bada

⇒

\hat{i}, \hat{j}

bezala ezagutzen bada

⇒

\vec{F} = F_{r} \hat{u_{r}} + F_{θ} \hat{u_{θ}}

\hat{u_{r}}, \hat{u_{θ}}

Ad.: Indar zentralak

bezala ezagutzen bada

⇒

\vec{F} = F_{t} \hat{t} + F_{n} \hat{n}

\hat{t}, \hat{n}

MOMENTU ANGELUARRAREN TEOREMA

INDAR BATEN MOMENTUA (0 puntuarekiko):

\vec{M_{0}} = \vec{r} \land \vec{F}

\frac{d \vec{L}}{dt} = \frac{d}{dt} (\vec{r} \land \vec{p}) = \frac{d \vec{r}}{dt} \land \vec{p} + \vec{r} \land \frac{d \vec{p}}{dt} = \vec{r} \land \vec{F} = \vec{M}

\vec{M} = \frac{d \vec{L}}{dt}

INDAR ZENTRALAK

Naturan sarri agertzen dira

Higidurak berezitasun interesgarriak ditu

Etengabe puntu finko bati zuzenduriko norabidea dute

Indar-zentroa

\vec{M} = \vec{r} \land \vec{F} = 0 \Rightarrow \vec{L} = ktea

Moduluz eta norabidez!

\vec{L} = \vec{r} \land m \vec{v}

\vec{r} ⊥ \vec{L}

Beraz higidura plano batean gertatzen da (HIGIDURA LAUA)

∣ L ∣ = {mr}^{2} \frac{d θ}{dt}

Gorde emaitza hau 6. gaian erabiltzeko

\vec{r} ∥ \vec{F}

Adibideak

Ariketak: 10

ERREFERENTZIA-SISTEMA EZ INERTZIALAK

Zein da B behatzaileak (ES Inertziala) eta B' behatzaileak (ES ez inertziala) neurtzen duten indarren arteko erlazioa?

Nola aplikatzen dute dinamikaren legea (N2) bi behatzaileek?

\vec{a} = \vec{a}' + \vec{A} + \frac{d \vec{ω}}{dt} \land \vec{r} + \vec{ω} \land (\vec{ω} \land \vec{r}') + 2 \vec{ω} \land \vec{v}'

●B behatzailea inertziala denez N2 aplikatu dezake

\vec{a} \Rightarrow \vec{F} = m \vec{a}

●B'-k neurtzen duena da

\vec{a}' = \vec{a} - \vec{A} - \vec{ω} \land (\vec{ω} \land \vec{r}') - 2 \vec{ω} \land \vec{v}'

\vec{ω} = kte

B'-k N2 -ren bidez azaldu nahi badu azelerazioaren neurketa hori, ondoko indarren eragina izan beharko ditu kontutan

\vec{F}' = m \vec{a}' = m \vec{a} - m \vec{A} - m \vec{ω} \land (\vec{ω} \land \vec{r}') - m 2 \vec{ω} \land \vec{v}'

\vec{F}' = m \vec{a}' = m \vec{a} + {\vec{F}}_{inertzia}

m \vec{a}'

B'- (ES EZ inertzialak) ikusten duen indar-erresultantea

m \vec{a}

B- (ES inertzialak) ikusten duen indar bakarra.

Beste edozein sistematik ere ikusten da. “Benetako indarra”

Beste indar guztiak B' behatzaileak soilik ikusten ditu: “Indar irudikariak” edo “Inertzia indarrak”

Inertzia indarrak

OHARRA: zentrifugoa ≠ zentripetua

●Indar zentrifugoa: ES EZ inertzialetan SOILIK. Indar irudikaria da
●Azelerazio zentripetua = - Azelerazio zentrifugoa

Adibideak

- m \vec{A}

Sistema inertziala

Sistema ez inertziala

Sistema inertziala

Sistema ez inertziala

T_{x} + (- m a_{c}) = 0

T_{x} + F_{irudikaria} = ma' = 0

T_{x} = m a_{c}

T = m a_{n} = m \frac{v^{2}}{R}

T + (- m \frac{v^{2}}{R}) = 0

Sistema inertziala

Sistema ez inertziala

Coriolis-en indarra